Gaussian Filtering

2021-12-09

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高斯平滑

高斯平滑又叫高斯滤波，是一种数据平滑技术，常用在图像模糊(Blur)中去除噪声和细节。

1.高斯函数

高斯函数就是我们常说的高斯分布(Gaussian Distribution)，一维中，高斯函数如下：

上式中标准差为σ，平均值μ为0。

如图所示，高斯分布是对称的钟形，上图为均值为0，标准差为1的高斯分布也即正态分布，高斯函数的标准差在其滤波中起着重要作用。位于±σ之间的值占集合的68%，而位于±2σ之间的值占集合的95%，±3σ占99.7%，这在设计固定长度的高斯核时非常重要。

其他性质：

高斯函数在实数域的积分x∈(-∞，+∞)为1，从概率学的角度看表示所有事件集合；
高斯函数的值不为零；
高斯函数是对称函数，对称轴为均值。

高斯分布的特点是在均值μ两边的概率都很大，离之越远的概率越小，所以高斯函数用在滤波上体现的思想就是：离某个点越近的点对其产生的影响越大，所以让其权重大，越远的产生的影响越小，让其权重越小。高斯滤波的关键是生成高斯核(Gaussian Kernel)。

2.高斯核(Gaussian Kernel)

数字滤波领域信号一般都是离散的，如一维数字信号用f(nT)进行描述，其中T为采样周期，n为时间序列。f(nT)表示第n个采样时刻的信号值。

所谓高斯滤波操作，其实就是用高斯函数对原始信号做卷积计算。理论上，高斯分布在所有定义域上都有非负值，这就需要一个无限大的卷积核。实际上，仅需要取均值周围3倍标准差(即3σ )内的值，以外部份直接去掉即可。
而高斯函数是连续函数，所以我们要从连续高斯函数中采样生成离散的权重系数，即Gaussian Kernel。高斯核是对连续高斯函数的离散近似，通常对高斯函数进行离散采样和归一化得出，这里，归一化指的是卷积核所有元素（权重系数）之和为1。下面分别为为一维和二维高斯核的例子：

计算高斯核中，有两个重要参数：σ、。σ为高斯函数的标准差；为核大小。不同的σ和会有不同的滤波结果。

高斯核可以看成是与中心距离负相关的权重。平滑时，调整σ实际是在调整周围像素对当前像素的影响程度，调大σ即提高了远处像素对中心像素的影响程度，滤波结果也就越平滑。高斯曲线随σ变化的曲线如下：

高斯核是对连续高斯的离散近似，窗口越大自然近似越好，但高斯函数是钟形曲线，距离中心越远数值越小，足够远处可以忽略不计，钟型曲线在区间(μ−σ,μ+σ)(μ−σ,μ+σ)范围内的面积占曲线下总面积的68%，(μ−2σ,μ+2σ)范围占95%，(μ−3σ,μ+3σ)范围占99.7%，一般3σ外的数值已接近于0，可忽略，半径为3σ即窗口大小为6σ×6σ即可，通常取最近的奇数。

3.一维高斯滤波例子

Python

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Dec  9 22:22:11 2021

@author: W-H
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['STZhongsong']    # 指定默认字体：解决plot不能显示中文问题
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False           # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题


def gauss_kernel(r, sigma, *args, **kwargs):
    """ 生成一维高斯滤波高斯核
    ---
    参数
    r:float
        核大小，通常为基数
    sigma: float
        标准差
    ---
    输出
    gauss_weight:array
        高斯核
    """
    gauss_weight = np.zeros(2*r+1)
    for i in range(1, 2*(r+1), 1):
        gauss_weight[i-1] = np.exp(-1*pow((i-r), 2) /
                                   (2*pow(sigma, 2))) / (sigma*np.sqrt(2*np.pi))
    return gauss_weight


def gaussian_filtering_1(data, kernel_cof, r):
    """ 一维高斯滤波
    ---
    参数
    data: array
        原始数据
    kernel_cof: array
        高斯核
    r: float
        核大小，通常为基数
    ---
    输出
    data_f: array
        滤波后数据
    说明
    高斯滤波是对原始数据进行核卷积运算，滤波中边界不进行处理
    data = [1,2,3,4,5]
    kernel_cof = [a1,a0,a1]
    data_f[0] = 1 # 保留原始数据
    data_f[1] = a1*data[1-1] + a0*data[1] + a1*data[1+1]
    .
    .
    .
    data[4] = 5
    """
    #
    data_y = np.zeros(data.size)
    data_len = data.size
    for k in range(data_len):
        if k < r or k > data_len-r-1:
            data_y[k] = data[k]
        else:
            temp = np.dot(data[k-r:k+r+1], kernel_cof)
            data_y[k] = temp
    return data_y


def test_1():
    # 生成测试数据
    data = np.random.rand(100)
    r = 2
    sigma = 5
    gauss_cof = gauss_kernel(r, sigma)
    data_y1 = gaussian_filtering_1(data, gauss_cof, r)
    r = 2
    sigma = 20
    gauss_cof = gauss_kernel(r, sigma)
    data_y2 = gaussian_filtering_1(data, gauss_cof, r)
    plt.plot(data, 'o-',alpha=0.8)
    plt.plot(data_y1, 'o-',alpha=0.8)
    plt.plot(data_y2, 'o-',alpha=0.8)
    plt.xlabel('采样周期T')
    plt.ylabel('y')
    plt.grid(axis='x', color='0.95')
    plt.legend(['原始信号', 'sigma:5,r:2高斯滤波', 'sigma:20,r:2高斯滤波'])
    plt.show()


if __name__ == "__main__":
    test_1()

从上图可以看到，σ值越大，相比较于原始随机信号，滤波结果越平滑。从频域角度描述就是高频信号分量越少。

3.二维高斯滤波例子

二维高斯滤波是一维高斯滤波的扩展，从原理上来说没有区别。相比较于一维高斯滤波，不同点在于：

原始信号维度；
高斯核；

二维高斯函数：

高纬高斯函数：

下面是使用scipy的一个简单例子：

from scipy import misc
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.ndimage import gaussian_filter
# 
fig = plt.figure()
plt.gray()  # show the filtered result in grayscale
ax1 = fig.add_subplot(121)  # left side
ax2 = fig.add_subplot(122)  # right side
ascent = misc.ascent()
result = gaussian_filter(ascent, sigma=5)
ax1.imshow(ascent)
ax2.imshow(result)
plt.show()

关于二维高斯滤波具体原理参考Microsoft PowerPoint - Image Filtering-6.ppt Compatibility Mode (auckland.ac.nz)

Reference

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